抛物线规作图

作者：博主与小石。

定义 1. 抛物线规
给定点A与点B，可做以点A为焦点，点B为准点（准点即：抛物线准线与对称轴交点）的抛物线p。

本文探讨使用抛物线规这一工具，以及给定 “可作两抛物线的全部交点” 这一前提，能做到哪些事情。

作图 2. 给定两点A与B，可作两点中点。
以A为焦点以B为准点做抛物线p1，再以B为焦点以A为准点做抛物线p2，易证p1与p2的唯一交点即为A与B的中点。

“以A为焦点以B为准点做抛物线p”之后将被简称为“对A与B做抛物线p”。

作图 3. 给定两点A与B，可作C与D使得四边形ACBD为正方形。
作AB中点M，对M与A做抛物线p1，对M与B做抛物线p2，p1与p2的两个交点C和D满足题意。

已知对角两点作正方形可轻松转化为已知一条边作正方形。

作图 4. 给定两点A与B，可作C与D使得四边形ABDC为正方形。
对AB两点应用作图3作正方形AEBF，再作正方形AMFG与正方形BHFM，再作正方形GMHI，再作正方形GFIC与正方形HDIF，点C与D即为所求。

有了正方形工具与中点工具后，可将线段延长至倍，其中与为任意整数。而且，有正方形工具后，我们可以做出强大的工具：平行四边形工具。

作图 5. 给定三点A、B与C，可作D使得四边形ABCD为平行四边形。
以B与C为对角两点作正方形BECX，再以AE为边作正方形AEFY，再以CF为边作正方形CFGD，点D即为所求。

现在开始，我们考虑以已知两点出发的作图可能。我们将会看到，从已知两点出发，抛物线规强于尺规作图。我们建立坐标系，令已知两点为与。

定义 6. 可作数
a称为可作数，若从与两点出发，可作点。记为。

定理 7. 若a,b为可作数，则从与两点出发，可作点。
作点与点。以为边作正方形得到，再以三点作平行四边形，即得点。

定理 8. ，其中。特别的，。

作图 9. .
令。任取点P，作平行四边形POAX与平行四边形XPBC，点C即为。做法相似。

作图 10. .
对点作抛物线，再对点作抛物线。可证唯一交点坐标为。对点以及上述交点作平行四边形，得到点，使用正方形将其移至轴上并加倍3次即可。

作图 11. .
对点作抛物线，再对点作抛物线，可证两交点坐标为。对点以及上述交点作平行四边形，得到点，使用正方形将其移至轴上即可。

定理 12. .
.

至此，已包含所有尺规可作数。

定理 13. ，其中。特别地，.

抛物线是二次曲线，两个不同方向的抛物线相交可以构造四次方程。所以，抛物线规的潜力远不止此。

作图 14. （倍立方问题）.
对点作抛物线，再对点作抛物线。可证除原点外另一交点坐标为。类似地，对点作抛物线，再对点作抛物线，除原点外另一交点坐标为。作平行四边形，可得坐标为，即。将此数除以即得结果。

使用类似技巧，可用抛物线规解任意四次方程。

作图 15. 的全部根.
取任一。作。对点作抛物线，再对点作抛物线。两抛物线的方程分别为与，其四个交点横坐标满足方程，设其中一点为。再取另一，如法炮制作以及。作平行四边形，可得纵坐标为。则。

定理 16. ，其中.

特别的，

定理 17. （三等分角问题）.</span>

至此，我们证明了从两点出发，抛物线规可解四次方程。但是，从三点或以上出发，抛物线规可作的事情仍是开放问题。如：

开放问题 18. 已知点，使用抛物线规求作点。