新坑笔记，p-adic数

#基本概念

在一个集合上的度量是一个集合X到非负实数上的二元函数，满足以下三个条件：

附加了度量的集合叫做度量空间。我们要考虑的基本上是域：有加法和乘法，加法成交换群，非零元素对乘法成交换群，以及分配律成立。例如与。在域上，另一个相关的概念是范数，范数是一个域F到非负实数上的一元函数，满足：

一个范数可以导出一个度量：。域上的范数的一个例子是上的函数。其导出的度量则是通常意义上的距离。

#度量

通常意义上的距离是一种度量，那么上还有没有其他度量呢？

令是任一素数。对于非零整数，定义为能整除的的最高幂次，也就是使得的最大的。例如。约定。

对于任一有理数，定义。定义上的函数如下：

可证得是一范数。事实上，这个范数满足比三角不等式更强的条件。

若范数满足，则称作非阿基米德范数。对于度量，非阿基米德度量为满足的度量。普通的绝对值范数则是阿基米德的。

对于任何一个度量空间，我们有柯西列的概念：一个点列是柯西列定义为对任意，都存在，使得对任意有。如果在度量下的任何一个柯西列在度量下仍是柯西列，则我们称这两个度量是等价的。如果两个范数导出的度量是等价的，则我们称这两个范数是等价的。

在定义中，我们可以将换成任意的，只要，则换之后的范数仍是等价的。同样，当时，普通的绝对值和也是等价的。我们有时将写作。

定理（Ostrowski）：上的每个非平凡度量都等价于，其中是一个素数或是。（平凡度量是。）

证明太长不写了。

那我们来看看这个所谓的“非阿基米德度量”。三角不等式告诉我们两边之和大于第三边。那么对于非阿基米德范数，。假设这个三角形的两边，那么。但是，由于不能小于，只能。这说明！当三角形的两边不相等的时候，它的第三边一定和这两边中长的那边相等，也就是所有三角形都是等腰三角形！

对于之前的例子，上的来讲，这应该不是很惊讶，如果和能被的不同次方整除，那么就刚好能被这两个当中较低的次方整除。