果然还是应该把博客拿来做笔记嘛，回归本职工作~

规范场论的前置知识大概是量子场论（心虚）但是其实我量子场论学的也是半懂不懂，就先勉强看一下看看能看懂到哪吧。。本文不是科普，需要前置知识，场论的科普的话我应该确实有心想做吧。。（但是得等我学会的之后才行.jpg）

目前我在看的这本书是《Gauge Theories of the Strong, Weak, and Electromagnetic Interactions》——Chris Quigg。

• 规范不变性
  • U(1)整体不变性
  • U(1)规范不变性
  • SU(2)非Abel规范不变性
  • 讨论

#规范不变性

规范不变性起源于一个很自然的想法。在经典场论里，如果场量是复数，那么我们很自然的可以给全空间的场量做一个相位旋转变换，这一操作不会改变任何可观测到的物理结果。再比如，在强相互作用里，质子与中子是同位旋空间的两个正交态，同位旋空间可以用SU(2)群表示。与强相互作用有关的实验表明，强相互作用对这两种状态是完全等价的，如果没有电磁相互作用这一破坏对称性的相互作用的情况下，所谓“质子”态和“中子”态完全是人为规定的，其内部没有任何区别。也就是，如果我们在一个时刻选定一个初始状态并称其为“质子”态或者称其为“中子”态，那么根据之后的演变以及历史，可以将每一点处哪个方向是“质子”态哪个方向是“中子”态全部确定下来。

但是，量子场论里由于有狭义相对论的融入，这一点显得并不那么显然。我在一个局域处选定质子/中子态，它应该与另一个人在其他地方选定的标架没有关系。也就是理论上应该可以在空间每一点独立选定一个标架，这些标架之间通过变换联系。类比回之前的复数场量的例子，就是并不是做全局旋转，而是在每个点的旋转相位都不一样：

这就是所谓的定域规范变换，简称规范变换。我们后面可以看到，一个规范变换会产生出一个零质量的Goldstone玻色子，如果我们再给这个玻色子规定一个动能项，那么这就是一个规范粒子。规范变换在麦克斯韦电磁学里自然地被满足，而在QED里，上述的相位旋转规范变换会产生出光子。

相位旋转变换U(1)群是Abel群，也就是其群元可交换。而后Yang（杨振宁）与Mills等人将这一理论推广到了非Abel群，也就是所谓的非阿贝尔规范变换。上面的质子/中子同位旋SU(2)群就是一个例子。

#U(1)整体不变性

根据Noether定理，U(1)整体不变性导出电荷守恒（当然并没有必要非得是电荷，就是一个满足相加性的荷）。考虑复场，对应的Lagrange量为：

由于场量是复数，我们认为与是独立的两个变量。其Euler-Lagrange方程给出Klein-Gordon方程：

对其应用整体变换

使可以得出Noether流守恒：。认为是电荷，即可得出是电磁流的结论。

#U(1)规范不变性

那么如果是定域变换呢？变换：

依赖本身的项的变换还是与整体变换相同，但是梯度项的变换就不再相同了：

多了后面的一项。那么，我们自然想到，定义一个新的“规范协变导数”：

这时，为让诸如的项就会与本身的项有类似的变换形式：

在变换时也就要有如下的变换形式：

于是被称为规范场。这一替换本身也隐含了规范场与物质之间的相互作用，我们来看自由Dirac场的Lagrange量：

会被替换成规范不变的Lagrange量：

其中电磁流。然后，如果我们给势加上一个动能项，这就是完整的QED的Lagrange量了。由麦克斯韦方程反推出的动能项为，它满足在变换下规范不变。其中：

但是，光子的质量项会破坏规范不变性：

也就是目前理论下的光子不能有质量。

#SU(2)非Abel规范不变性

非Abel群的情况就相对复杂一点了。考虑SU(2)群的同位旋变换。同样还是规范变换：

其中

是Pauli 2*2矩阵。则梯度项的变换形式就是：

为保证规范不变，同样引入一个规范协变导数：

其中

为同位旋空间的单位矩阵，则起着类似强相互作用耦合常数的作用。则是由下式定义的2*2矩阵：

三个规范场是，同位旋分量从1求和至3。

我们的目的当然还是使

为此我们必须找到的变换形式。

也就是需要使

对任意成立。在前插入并令可得：

我们继续Lagrange量的构造：

正如之前QED的一样。那么接下来，我们需要构造一个场强张量，并由它构造场的动能项：

上一步最后一个等号来自Pauli矩阵的恒等式。也就是，我们需要一个能够如下形式变换的场强张量：

传统的QED形式是不满足这一条件的（推导略）：

多余的项很显然，来自群的非Abel结构。那么怎么构造呢？我们发现，QED的场强张量是可以表示成这个形式的：

其中，这是因为

最后一项的对易子在Abel理论下消失了。这暗示在非Abel理论下，场强张量应该有如下形式：

可以推导出它满足式的条件。Yang-Mills理论的规范不变的Lagrange量就是：

同样，一个质量项会破坏规范不变性，传递强相互作用的介子（介子）不能有质量。

对于以后的推广有用的是，我们可以将场强张量的分量表示出来：

对于不是SU(2)群的其他规范群来讲，Levi-Civita符号将会被群的结构因子替代。

#讨论

事实上，QED是一个自由场论，光子本身不带电荷，也就是光子与光子之间没有相互作用。但是在非Abel规范场论里，由于场强张量多了一个非线性项，在里会出现势的三次项、四次项，也就是规范玻色子自己和自己存在相互作用。在Feynman图里表现为三玻色子顶角与四玻色子顶角，这在QED里是没有的。这也使得使用微扰论的手段研究这一理论有很大的难度。

上面所说的这个规范玻色子必须是零质量的，这与实验严重不符：强相互作用的力程很短，是由交换一个有质量的介子描述的。但是，这一规范不变性的思想却是很重要而且很漂亮的。这一点可以通过很多手段被规避。换一个规范群，可以建立QCD，其中的介子是复合粒子。在下一章，首先会介绍一种叫做自发对称性破缺的机制，这一机制同样会产生出一个零质量的玻色子。乍一看，我们的问题好像增加了，但是实际上，这两个机制结合时，会产生另一种叫Higgs机制的作用，它不仅消除了两个零质量粒子，还多出了一个含质量的规范玻色子。