物理学极其重视对称性，上一篇笔记的规范不变性是局域变换对称性的思想产生的结果，而本篇将会从另一个角度：对称性破缺。我们将会看到自发对称性破缺会产生零质量玻色子，而考虑上一篇所讲的规范不变性的自发破缺，则会使这种零质量玻色子消失，而给规范粒子赋予质量。
自发对称性破缺
一般说到对称性指的都是精确对称性，但是自然界里有很多只是近似的对称性，比如同位旋对称性在强相互作用里对称，但是在电磁相互作用里却有极少量的破缺，导致质子和中子的不同。一般这种近似对称性的描述是在对称的拉格朗日量里加一个破坏对称性的微扰小量：
但是也有这种叫做自发对称性破缺的机制，满足精确的对称性，但是由得出的物理真空态却不满足。举个例子，一块处于临界温度之上的无限大铁磁体，它的每个自旋的指向都是随机的，满足局域的SO(3)旋转不变性，但是如果降到临界温度之下，它的能量最低状态（也就是真空态）是所有自旋朝同一方向排列，局域SO(3)旋转不变性被破坏，只剩下了SO(2)的不变性。再举个例子，如果系统的势能的形式是：
这个势满足空间反射对称性。在时，势阱像下图左面一样，真空态在0处，对称性得到保证。但是在时，势阱变成了下图右面这样。能量最低的物理真空态只能选择左右之一，这时对称性就发生了自发破缺。
对于的情况，真空态是，于是它就代表一个质量为的粒子：
而对于的情况，真空态必须取为能量最低值。将平移，定义，则：
其项的系数除以项的系数为，也就是一质量为的粒子。
连续对称性的自发破缺
上面二维的图破缺的是空间反射对称性，这是离散对称性。对连续对称性的破坏将会有不同的结果。考虑二维场，其Lagrange量为：
同样，在时，势阱像下图左面一样，真空态在0处，在时，势阱变成了下图右面这样，真空态为最低处一圈上的任意一点，SO(2)对称性发生自发破缺。
选取为真空态，并设：
可以得到
可以看到，存在两个粒子，代表径向的振动模式，其质量平方为，则是一零质量粒子，代表在轴向转动没有回复力，实际上是连接不同可能真空态的零能量激发。粒子谱的分裂与零质量粒子的出现就是Goldstone机制，这个零质量玻色子也被称为Nambu-Goldstone玻色子。
规范对称性的自发破缺
我们考虑局域规范不变的Lagrange量的自发对称性破缺。比如上一篇所讲的U(1)理论，我们给势能加上一个四次方项：
其中为复标量场，，。其在局域规范变换下不变：
同样，对于，势能最小值在，对称性未被破坏。对于，最小值在
取，然后设
忽略高阶无穷小。则这时Lagrange量的前几项为：
场像以前一样，获得了的质量，同时也获得了一个质量，但是它是和看起来零质量的场混合起来的。事实上，包含与的项可以被写成：
由于拉格朗日量是规范不变的，可以做一个规范变换，对应的的旋转为，则原式变成：
可以看出，这里面包含 - 一个场，其质量平方为； - 一个有质量的矢量场，其质量为； - 没有场。
场消失的自由度哪儿去了呢？从规范变换（这个特殊的规范变换被叫做U-规范）里可以看出，实际上场变成了有质量的场的径向分量。在对称性自发破缺之前，系统有四个自由度：两个标量场与以及零质量向量场的两个螺旋态。在自发破缺之后，变成了一个标量场以及的三个螺旋态。原本零质量的光子“吸收”了零质量的Nambu-Goldstone玻色子，变成了有质量的矢量玻色子。
非Abel规范对称性的自发破缺
书中最后还举了一个非Abel规范对称性自发破缺的例子，用的是SU(2)群，其实大体上和前面的过程差不多，具体过程就不抄了，大概结果就是：
这里面包含 - 变成了标量Higgs场，其质量平方为； -
本应是Nambu-Goldstone玻色子的与消失了； - 矢量玻色子与对应破坏了的与产生子的对称性，获得了质量； - 剩下的矢量玻色子仍然没有质量，代表被破坏之后剩余的一个保持真空不变的产生子。
Higgs机制
其实上面最后两节的内容就是Higgs机制。
下一篇将会实际上手，讨论电弱统一（SU(2)U(1)规范对称性），以及对应的Higgs机制，Higgs玻色子的产生。
啊，Higgs机制太漂亮了。
