第三章
狭义相对论与量子力学基础
粒子物理使用的数学工具：量子场论是量子力学与狭义相对论的结合理论。为此我们不得不先学习一下狭义相对论和量子力学基础。
3.1 洛伦兹变换
狭义相对论有两个基本假设：
- 在任意惯性参考系下，物理定律保持相同。
- 真空中的光速在任意参考系下不变，与观者以及光的发出者的运动速度都无关。
此处惯性参考系定义为自由物体均静止或做匀速直线运动的参考系。
第二个基本假设来自于20世纪初所进行的迈克尔孙-莫雷实验。19世纪末，麦克斯韦提出可以解释所有电磁现象的麦克斯韦方程组，并且成功计算出电磁波的速度约等于当时实验测得的光速，由此他提出光即是电磁波。但是麦克斯韦方程组在不同惯性参考系下的形式不一样，与当时公认的伽利略相对性原理（即基本假设1）矛盾。也可以说，麦克斯韦方程组要求光速是一个固定常数。
于是当时一部分人认为，伽利略相对性原理错了，应当存在一个绝对的参考系（即以太），里面光速是常数，而地球的自转和公转使得地球应当相对于绝对参考系运动。于是人们做了迈克尔孙-莫雷实验，试图寻找地球相对于绝对参考系的速度，但是实验结果为0。在不同时间不同参考系下，各个方向的光速均相等。
使用这两条基本假设进行推理，可以得到许多结果。例如同时的相对性，钟慢效应，尺缩效应等。在经典的时空观下，变换参考系时，时间不变，坐标相加，即伽利略变换。牛顿力学的形式在伽利略变换下保持不变。设两坐标系的相对运动速度为
，则伽利略变换表示为：
速度同样直接满足叠加原理 ，其中 代表物体在 系的运动速度， 代表在
系的运动速度。而这会导致光速会随观察者和发出者的速度变化。这说明伽利略变换在狭义相对论中是错的，需要以洛伦兹变换代替：
其中 ，。如果我们选择自然单位制，令
，则式子会简化许多。
洛伦兹变换会使得运动的物体沿运动方向长度收缩，时间变慢。由此可能会导致车库佯谬和双生子佯谬等问题。但是它们都是佯谬，即不是真正的悖论，只是有许多我们没有考虑到的问题才显得像悖论而已。
洛伦兹变换实际上是闵可夫斯基空间内的旋转。我们知道，日常中常用的几何学是基于欧几里得空间的。欧几里得空间内，两点
之间的距离为 。而闵可夫斯基空间，以三维空间+一维时间为例，两点
之间的距离为 。（这里我们约定使用
度规，在不同课本中也可能会出现 ，请读者特别注意不同课本使用的约定。）用图来解释闵可夫斯基空间中的旋转则是（图中忽略y与z坐标）：
值得注意的是，麦克斯韦方程组天生就是洛伦兹不变的。
3.2 四矢量
由于我们的讨论范围从三维空间变成了四维时空（三维空间+一维时间），我们来进行一些与四维时空有关的计算。
在三维空间当中，我们会把一些满足特定性质的三个数放在一起称为（空间中的）
矢量。例如
是坐标矢量，
是速度矢量。这个特定性质就是：如果坐标系旋转，则矢量的三个分量会同时跟着旋转。如果以二维（空间）为例，在坐标系旋转时，坐标矢量
会旋转成为：
速度矢量、加速度矢量等矢量会以完全相同的形式旋转。满足这个性质的数组我们称之为矢量。而其他不满足这个性质的数组就不是矢量，例如
。
矢量满足一个性质，就是在坐标系旋转的时候，矢量的长度保持不变。以二维为例，由于欧几里得空间的长度为
，我们可以验证由上述旋转矩阵表示的旋转变换不改变矢量的长度。
而在四维时空，我们把在坐标系变换时会依据洛伦兹变换而变换的数组称为四矢量。用矩阵的形式表示的话，四矢量
会变换为（如果不用自然单位制的话则是 ）：
我们同样可以验证，按照闵可夫斯基空间的长度公式 ，四矢量在进行洛伦兹变换时，长度不变。我们把
称为固有时。固有时是一个洛伦兹不变量。
在四维时空下，能量和动量同样可以组成一个四矢量。如果我们把动量定义为
，能量定义为 ，则能量和动量可以组成四动量：（如果不用自然单位制的话则是
与 ）。
四动量的矢量长度平方也是一个洛伦兹不变量：，即静能量的平方（如果不用自然单位制的话则是
）。
由于四矢量的长度平方是洛伦兹不变量，对于任意一个四矢量，我们可以按它的长度平方对其进行分类： 称为类时的， 称为类空的，
称为类光的。一个四矢量是类时、类空或是类光的是不会因参考系变换而改变的。如果矢量类时，我们一定可以将其进行参考系变换使其空间分量变为0；而如果矢量类空，我们一定可以将其进行参考系变换使其时间分量为0。例如如果我们考虑时空当中两个点的距离矢量，那么这个距离矢量类时表明可能有一个参考系，在其中两点处于同一个位置，即可以有一个人以低于光速的速度从一个点运动至另一个点。而类空则表明不可能，一定存在一个参考系使得这两点同时发生。
3.3 张量计算基础
先以二维矢量为例。我们可以把 写成 ，然后就可以用 表示矢量 的三个分量，其中 。
我们可以使用虚拟指标的概念，就是说认为 不仅代表分量，而是代表整个矢量，此时
并不是一个1或2的数，而是一个变量。然后我们把旋转矩阵写成 ，其中 。我们就可以把坐标系旋转的公式写成
。我们再使用爱因斯坦求和约定，在一个式子里出现两次的虚拟指标会默认求和。那么式子就会进一步化简为
。计算矢量长度的平方
，我们就可以用
来表示。这是一个标量。
对于四维时空，我们使用希腊字母作为虚拟指标，以和二维或三维空间区分。我们指定
，使用 表示坐标四矢量。但是如果我们还想用
表示矢量的长度就会发现，这里的三个空间分量都差一个负号。我们引入度规张量
（有些课本可能会使用
与非平直时空统一，我们这里为了区分，采用闵可夫斯基时空特有的度规张量
）：
也就是 ，其余分量为0。这时我们就可以使用
来表示四矢量的长度平方。
或者，还有另一种方法。我们定义协变矢量 为：
即 。与之区分，原本的
称为反变矢量。这时我们就可以直接用 表示。
同样可以将指标放到上面或放到下面，结果就是 和 。
主对角线均为1其余分量均为0（就是所谓的Kronecker符号）， 和
相同，00分量为1其余对角分量为-1。
于是，我们可以将之前的坐标系变换的式子改写为：
其中
是洛伦兹变换矩阵。对于协变矢量，坐标系变换的式子则相反：。
这里我们已经接触到张量的概念了：（空间中的）二阶反变张量
为9个数组成的矩阵，但是要求在坐标系变换中满足关系：
同样可以使用度规张量将指标拉到下面，变成二阶协变张量
或是混合张量
等等。同样可以定义三阶张量、四阶张量等等，这里不再一一赘述。
这里再给出一个原本就是协变矢量的例子：微分变换 。
本身不能单独存在，可以认为是一个协变矢量算符，作用于其右侧的反变矢量上。我们考虑空间内定义的一个矢量场：四维时空内的每个点到一个矢量的映射。例如流体每个点的流速矢量
，流体内每个点均有一个流速；再例如坐标矢量场
：它将每个点映射至该点的四维坐标矢量本身，在不引起混淆的情况下我们可以以相同的符号
表示。 则是 ，依次对每个分量进行求导。在三维空间的经典场论中，就是纳布拉算符
。
在四维时空中也称作达朗贝尔算符 。
3.4 电动力学
作为张量计算的一个例子，我们来推导四维情况下的麦克斯韦方程组。
我们先写出三维情况下麦克斯韦方程组的形式：
我们只考虑真空中的情况，此时 。然后我们对电学量也使用自然单位制，令
。这与 是一致的，因为 。
我们可以想象，在变换参考系的时候，电荷与电流应当可以互相变换。也就是说，我们可以将
组合在一起形成一个四矢量
。但是电场和磁场该如何变换呢？在非相对论的电磁学中没有答案，这本质还是因为麦克斯韦方程组自身就是相对论性的，电场和磁场不可能以非相对论形式的伽利略变换而变换，它们是不兼容的。实际上，电磁场组合形成的是一个反对称的二阶张量：
我们可以看到，这个矩阵的转置等于它的相反数，这就是反对称的含义：。
麦克斯韦方程组的第一个和第四个方程是非齐次的，它们含有电流四矢量。我们先看这两个式子。第一个就是
。我们可以发现，
的第一列后三个数就是电场强度的三个分量，它们分别是 。而三个偏导也是
。加上
，我们就可以把这个式子写作：
第四个式子是矢量等式，以
分量为例， 的
分量是 ，刚好是
第二列后三个分量的依次求导。而等式右侧的 如果挪到左侧来就是 对 求导。这说明，第四个式子的 分量可以写成：
同理考虑
分量之后，我们就可以把麦克斯韦方程组的两个非齐次的式子用张量的形式表达：
然后我们再来看齐次的第二和第三式。一个比较好的思路是，第二三式仅仅是第一四式里把
和
调个顺序的结果，那么我们如果定义一个对偶的张量 为：
注意到其中的
的符号是反的，因为第三式和第四式差一个负号。如果我们这么定义，那么这两个方程就可以轻松化为：
那么我们如何通过
构造出
呢？这里涉及到一个在张量运算中常用的张量：Levi-Civita符号，或叫Levi-Civita全反对称张量。我们先以三维为例，三维空间下三阶全反对称张量的定义为：
我们可以看到，任意交换
中的两个分量均变号，这也就是它叫做全反对称的原因。读者可以自行验证它在任何一个坐标变换矩阵下都保持不变。Levi-Civita符号在经典张量分析中也很常用，例如由
三个向量组成的三阶行列式的值就是 。这也同样导致矢量
叉乘的结果就是 。
在更高维度下，同样也有全反对称张量。事实上，我们可以通过计算得到，。例如，。所以，麦克斯韦方程组剩下的两个式子就可以化为：
如果我们将这个全反对称张量展开，就是：
这个方程对于三个分量是循环对称的。
最后，我们看电势和磁矢势。经典电磁学中，我们可以引入电势和磁矢势的辅助变量。依据是麦克斯韦方程组的两个齐次方程。由于
，可以证明存在一个 使得 。然后又由于
，代入可得 ，可以证明存在一个
使得 ，也就是
。电势的这个负号是一个约定，为了和能量的符号相同。
电势和磁矢势不是由场强唯一确定的，典型的例子是可以把全空间的电势增加一个常数，这对物理现象没有任何影响。更一般地，我们可以选择任意一个标量场
，令 ，可以验证这个变换保持
和
均不变。这其实已经暗示经典电磁场的规范不变性。技术上，我们可以规定一定的规范，例如库仑规范（）或洛伦兹规范（）。但是事实上这些规范也不能唯一地确定势的形式。
电势和磁矢势同样可以组成一个四矢量：。我们可以验证：
这样，麦克斯韦方程组的齐次式是必定满足的。非齐次式也可化为：
这是比较常见的波动方程的形式。
最后。我们为什么说麦克斯韦方程组是洛伦兹不变的，这是因为，如果我们能把麦克斯韦方程组写成由张量组成的表达式，如果这些张量本身都是在坐标变换下以正确的形式变换，那么整个方程的形式必定在坐标变换下保持不变。也就是说，如果电流四矢量、电磁场张量和电势四矢量在参考系变换的时候都按照洛伦兹变换而变换，那么麦克斯韦方程组在任何参考系下都是正确的。
3.5 量子态与角动量的量子化
我们这里不过分深入地讨论量子力学，只大致讨论量子力学的基本假设，时空观，以及角动量的计算。
量子力学有一系列基本假设：
- 每个粒子由一个量子态描述。量子态是希尔伯特空间内的一个态矢
。
- 量子态随时间的变化满足薛定谔方程 。
- 每个可测量的宏观物理量都对应一个厄米算符。测量该物理量时，只可能测得该厄米算符的本征值。测得任意一本征值的概率为量子态
与该本征态
的内积的模长平方。测量后，量子态会立即坍缩至该本征态。
量子力学在宏观近似下会变回经典力学。在微观，粒子表现出不确定性的特性。例如粒子的位置和动量无法同时精确地确定，粒子在运动时会采取所有可能的路径的叠加等。
我们在这里深入地讨论角动量算符 。经典力学中，角动量描述物体的旋转，定义为
。分量分别为：
在量子力学中，动量被替换为算符 ，角动量也变成了算符。算符运算不满足交换律，位置算符
与动量算符 的对易关系 。可以通过简单的计算得到，角动量算符的对易关系为
,,。可以用一个统一的式子来描述：。这里由于是三维欧氏空间，没有必要区分上标与下标。（值得注意的是，这与SU(2)群的李代数的对易关系一致。）
我们发现， 和
的对易子不为0，表明它们没有共同的本征态。而我们可以计算得到， 与 的每一个分量例如
都是对易的，也就是它们可以有共同的本征态。在量子力学课程中我们可能可以计算它们本征态的函数形式。这里暂时略过，只给出结果。
与 的共同本征态取球谐函数 的形式。此时 的本征值为 ，其中 必须为自然数； 的本征值为 ，其中 。我们就会发现，角动量总量为 而分量 不同的态一共有 个。这时候，我们一般使用波矢 表示粒子所在的态。
这是粒子在空间中所拥有的角动量，也可以叫轨道角动量。除此之外，粒子还允许有内禀的角动量，也称为自旋。自旋
与轨道角动量有些许不同：自旋 的本征值允许取 ，其中 为大于等于0的整数或半整数； 的本征值 的取值范围为 。
当一个粒子既有内在的自旋，又有轨道角动量的时候，这两部分角动量就会耦合。当然，这是任意两个角动量耦合的特例。对于任意两个角动量
，它们叠加后组成的态若为
，则必须满足 和 ，也就是角动量总量最小可以是二者差值，最大可以是二者的和，而角动量分量则必须相等。两者耦合后的态本质上可以为上述所有这些态的叠加，每一个态的系数为
Clebsch Gordan 系数，高等量子力学课中会计算这些系数。
我们可以以自旋为
的电子为例讲解一下角动量的合成。假设我们讨论两个电子的自旋合成，第一个我们用下标1表示，第二个我们用下标2表示，两个粒子可能的态分别为：
和 。那么，这两组态耦合就有可能有四种情况：
按照我们上面说的，耦合后的总角动量可能为1或0。角动量为1的态一组有3个，角动量为0的态一组有1个，我们发现刚好
，说明耦合后刚好这两组态各一组。（使用群表示论的语言可以表示为
）。这四个态分别为：
那么这两种表示如何对应呢？我们说过，角动量的分量在耦合时是守恒的，说明一定是：
其中
的系数是要计算确定的，这里简单起见就不算了。
