第五章 对称性与守恒律

• 5.1 量子化的角动量
• 5.2 空间反射对称性与P宇称
  • 5.2.1 轨道角动量的P宇称
  • 5.2.2 基本粒子的P宇称
  • 5.2.3 强子的P宇称
  • 5.2.4 光子的P宇称
  • 5.2.5 角动量和P宇称守恒
  • 5.2.6 弱相互作用中P宇称破坏
• 5.3 C宇称与T宇称
• 5.4 CP破坏与CPT定理
• 5.5 同位旋与G宇称

对称性在物理研究中十分重要。例如如果我们看到这样一个函数图像：

我们即使不知道它的函数表达式，但是只要知道它是奇函数，就能立即得到一系列性质，例如它在任意 区间内的积分都为0，它的泰勒展开中偶数次幂的系数都为0等等。在物理中，如果让我们求一个无限长直并且均匀带电的导线周围空间内的电场：

我们就可以首先依据对称性将问题进行简化。例如我们将研究问题在垂直方向上进行反射，空间内电荷分布保持不变，这说明在任意一点没有垂直方向上的电场；如果在水平方向上过导线的任意平面进行反射，同样保持不变，这说明在任意一点没有垂直于轴反向的电场；于是电场强度只能沿轴方向。又由于空间绕导线旋转之后，电荷分布也保持不变，这说明在任意不同的角度电场强度都相等；如果将空间沿垂直方向平移，电荷分布还是保持不变，这说明在不同高度电场强度也相等。我们仅仅通过对空间对称性的分析，就得到了在任意一点的电场方向，以及电场强度只是距离导线的距离 的函数这两个重要信息。这足以表明对称性分析在物理中的重要性。

在粒子物理的领域，同样有着诸多对称性。从空间和时间上的连续对称性来考虑，依据生活经验，我们可以知道，时空有一些连续对称性：空间平移对称性，空间旋转对称性，时间平移对称性。我们有诺特定理：每个连续对称性都有一个对应的守恒律。空间平移对称性生成动量守恒，时间平移对称性生成能量守恒，空间旋转对称性生成角动量守恒。全局的相位变换还可以生成量子数守恒，例如电荷守恒。

粒子物理当中，能量和动量守恒都和经典相对论物理类似，但是角动量的情况比较复杂，因为量子力学中角动量只能取分立值。我们先研究角动量。

5.1 量子化的角动量

我们知道，在经典物理当中，角动量是 ，对于任何一个孤立系统来说，相对任意转动轴的角动量守恒。量子力学中，角动量被替换成了角动量算符，而角动量算符的本征值（也就是测量到的角动量数值）只能取分立值。具体来讲就是我们只能同时测得 和 ，而无法同时测量其x和y分量。对于一个 和 的本征态， 的本征值为 ， 的本征值为 ，其中 为一自然数， 为整数。而单个粒子也可能携带内禀的角动量，我们称为自旋 。对于 和 有类似的结果， 的本征值为 ， 的本征值为 ，但是区别是这里 可取半整数，。

即使在微观领域，角动量仍然必须守恒。但是粒子可能既有内禀角动量（自旋），也有轨道角动量（公转）。我们需要考虑角动量的合成。对于复合粒子例如 等的介子，就必须考虑两个夸克的自旋再加上夸克之间的轨道角动量，这三者之和。而重子则要考虑三个夸克的自旋和两部分轨道角动量，这五个量之和。

我们用 表示轨道角动量，总角动量 。对于一个系统，我们不可能同时确定 和 的全部分量。一种方法是我们单独考虑 和 ，选取 和 的本征态以及 和 的本征态，然后将它们相乘。例如：

我们也可以先测量总角动量 ，选取 和 的本征态，然后由于我们还差两个变量，可以再选取 和 ，这样也凑出来了四个变量：

后者可以让我们更直接的看出总角动量，而前者我们不一定能测量到确定的总角动量。所以我们更多的采取后面的来表示。这二者之间是可以换算的，一般的高等量子力学课程里面都会包括这部分计算，换算的系数叫 Clebsch–Gordan 系数，可以查表得到。例如对于 的情况（图里采用的符号是 ）：

（注：这里写这个特殊情况当然是后面会用到）

如果我们采取 的共同本征态，那么轨道角动量 和自旋角动量 都有确定的取值。我们依照这个来分类粒子，将粒子表示为

的态的形式。中间的 我们一般不写数字，而是使用 等的符号，与氢原子能级较为类似。例如一个 的态会被表示为 态，一个 的态会被表示为 。

然后我们考虑介子。介子由一个夸克和一个反夸克组成，它们的自旋都是 。这时我们上面的 仍代表轨道角动量， 代表两个夸克的自旋之和。如果我们首先考虑轨道角动量为0的情况，这时 ，角动量就是两个 自旋的耦合。采用类似上述的方法，我们可以将 与 进行合成得到 ，得到 或 。也就是两个态：

而对于 ，我们则还要考虑刚刚耦合完的 继续与 耦合。 的情况，和 耦合会得到 ，而 时则会得到 的一组三重态。也就是四个态：

以 的举例的话，就是

我们可以看下面，粲偶素 与底偶素 的能谱，左面的六组态分别就是上面说的 态。由于粲夸克和底夸克较重，没有复杂的干涉叠加过程，我们单凭上面的简单夸克模型，就可以预测虚线之下的能谱。而这里有 等等则是轨道角动量相同也可能会有两者的环绕距离不同而导致有不同的能级，类似氢原子有 等的能级。最轻的两个粒子就是 态的两个粒子， 以及 ，它们的角动量分别为0和1。这里右上角的 和 马上会讲到。

第四章 夸克模型

• 4.1 夸克与强子的属性
• 4.2 π介子与核子
• 4.3 奇异强子、粲强子与底强子
  • 练习题
• 4.4 共振态

我们先从最基本的夸克模型开始讲起。夸克是基本粒子，没有内部结构，由夸克为基础可以组成强子，例如重子与介子等复合粒子。组成原子核的质子与中子就是重子的例子。除质子外，所有强子都不是稳定粒子（当然原子核是稳定的，但是原子核不属于强子的范畴），只能在宇宙线实验或对撞实验中产生。夸克模型即是描述所有这些实验所撞出来的粒子的“元素周期表”。虽然自然界中不存在自由的夸克，但是一系列对撞实验的结果表明夸克模型确实是正确的，夸克是存在的。

4.1 夸克与强子的属性

夸克模型包含六种夸克：

它们都有对应的反夸克：

顶夸克由于过重，无法形成强子（其寿命小于强子化的典型时间），所以只能从 产生过程中观察到。其衰变产物大部分为 。其余的夸克都可以组成重子（）、反重子（），或是介子（）。

我们常用量子数来表征粒子属性。六种夸克的量子数总结在下表中：

例如重子数 ，它用于表示粒子是不是重子。重子的重子数为1，介子的重子数为0，反重子的重子数为-1。由于目前我们没有看到任何质子衰变的迹象，所以实验告诉我们重子数在任何粒子反应中都是守恒的。重子数也可以体现在夸克上，每个夸克的重子数为 ，三个夸克的重子数之和即为1。电荷也算是量子数的一种，我们知道电荷也在任何粒子反应中守恒。我们可以使用守恒定律来初步鉴别一个粒子反应是否可能发生，不满足守恒定律的反应一定不会发生，这也就是这些量子数比较重要的原因。粒子不只有表格中这几种量子数，其余量子数我们下个章节会继续介绍。

表格中其余四种量子数表征粒子含有某种夸克的个数。例如奇异数 等于粒子含有 夸克的个数减去 夸克的个数，粲数 等于粒子含有 夸克的个数减去 夸克的个数。（这里奇异数底数与粲数顶数符号相反大多是由于历史原因）。例如下表随意列举了几种介子和它们的夸克组分，以及它们的量子数。

我们当然也可以定义量子数叫“上夸克的个数” 和“下夸克的个数” 。但是其实这两种量子数意义不大，因为它们可以由粒子的重子数、电荷数和其余量子数推算出。这是由于：

其中 是所有夸克的个数， 是所有反夸克的个数。而这等价于

而同时电荷等于

强相互作用和电磁相互作用不会改变夸克的种类（也就是味道），所以，强和电磁相互作用下这些量子数应该都是守恒的。例如如下强相互作用的反应：

它左右两端的夸克组分为：

可以看到， 和 都是守恒的。但是弱相互作用中夸克组分会发生变化。例如 衰变

夸克组分是：

在这里，一个 夸克变成了一个 夸克。所以，我们可以利用这一性质初步判断反应过程有没有可能是强相互作用或者电磁相互作用。

第三章 狭义相对论与量子力学基础

• 3.1 洛伦兹变换
• 3.2 四矢量
• 3.3 张量计算基础
• 3.4 电动力学
• 3.5 量子态与角动量的量子化

粒子物理使用的数学工具：量子场论是量子力学与狭义相对论的结合理论。为此我们不得不先学习一下狭义相对论和量子力学基础。

3.1 洛伦兹变换

狭义相对论有两个基本假设：

1. 在任意惯性参考系下，物理定律保持相同。
2. 真空中的光速在任意参考系下不变，与观者以及光的发出者的运动速度都无关。

此处惯性参考系定义为自由物体均静止或做匀速直线运动的参考系。

第二个基本假设来自于20世纪初所进行的迈克尔孙-莫雷实验。19世纪末，麦克斯韦提出可以解释所有电磁现象的麦克斯韦方程组，并且成功计算出电磁波的速度约等于当时实验测得的光速，由此他提出光即是电磁波。但是麦克斯韦方程组在不同惯性参考系下的形式不一样，与当时公认的伽利略相对性原理（即基本假设1）矛盾。也可以说，麦克斯韦方程组要求光速是一个固定常数。

于是当时一部分人认为，伽利略相对性原理错了，应当存在一个绝对的参考系（即以太），里面光速是常数，而地球的自转和公转使得地球应当相对于绝对参考系运动。于是人们做了迈克尔孙-莫雷实验，试图寻找地球相对于绝对参考系的速度，但是实验结果为0。在不同时间不同参考系下，各个方向的光速均相等。

使用这两条基本假设进行推理，可以得到许多结果。例如同时的相对性，钟慢效应，尺缩效应等。在经典的时空观下，变换参考系时，时间不变，坐标相加，即伽利略变换。牛顿力学的形式在伽利略变换下保持不变。设两坐标系的相对运动速度为 ，则伽利略变换表示为：

速度同样直接满足叠加原理 ，其中 代表物体在 系的运动速度， 代表在 系的运动速度。而这会导致光速会随观察者和发出者的速度变化。这说明伽利略变换在狭义相对论中是错的，需要以洛伦兹变换代替：

其中 ，。如果我们选择自然单位制，令 ，则式子会简化许多。

第二章 粒子物理中的基本概念与费曼图简介

• 2.1 基本粒子
• 2.2 相互作用
  • 2.2.1 费曼图基础
  • 2.2.2 电磁相互作用，量子电动力学
  • 2.2.4 强相互作用，量子色动力学
  • 2.2.3 弱相互作用
• 2.3 单位与量纲
• 2.4 粒子寿命与宽度
• 2.5 散射截面

2.1 基本粒子

所有粒子被分为两类：费米子与玻色子。 费米子指的是那些自旋为半整数的粒子，玻色子指的是那些自旋为整数的粒子。 自旋为粒子的量子效应，我们将会在第五章详细讲解，目前可以认为自旋只是粒子内部的一个属性，取值范围为自然数或正半整数。

标准模型中的最基本粒子（即没有内部结构的粒子），有上图中的这些。 其中，左侧两列为费米子，右侧两列为玻色子。 基本的费米子共有夸克和轻子两类，为组成物质的主要成分。 夸克有六种，纵向分为三代横向分为两行。 依次为上夸克u，下夸克d，粲夸克c，奇异夸克s，顶夸克t，底夸克b。 上行夸克带电荷，下行夸克带电荷。 轻子也有六种，纵向分为三代， 依次为电子e，电子中微子，子，子中微子，子，子中微子。 电子子子带电荷，中微子不带电荷。 所有基本费米子均有其对应的反粒子，反粒子与粒子本身质量相同，带电荷量相反。 右侧，基本的玻色子有五种，为传递相互作用的主要媒介。 依次为传递强相互作用的胶子，传递电磁相互作用的光子，传递弱相互作用的和。 其中，不带电，其反粒子均为自身，有带正电和带负电两种，互为反粒子。 最右侧一列为赋予所有基本粒子质量的希格斯玻色子，其反粒子同样为自身。

由基本费米子开始可以组成物质。 我们熟悉的质子和中子分别是由两个上夸克与一个下夸克以及一个上夸克与两个下夸克组成的。 而原子核由多个质子及中子组成，原子由原子核与在核外形成稳定束缚态的电子组成。 除此之外，基本粒子还能够组成其他微观粒子，但基本都是不稳定的复合粒子。 介子由一个夸克与一个反夸克组成，重子由三个夸克组成（同理反重子由三个反夸克组成）。 强子主要有介子和重子两种。 除介子和重子之外，还可能存在一些奇特态，例如四夸克态、五夸克态等等。 强子与轻子相对，为参与强相互作用的粒子，轻子为不参与强相互作用的粒子。 此外，所有带电粒子均参与电磁相互作用。 所以，不带电的轻子——中微子就是只参与弱相互作用的粒子了（引力相互作用除外）。

查询目前实验发现的粒子以及相关数据可以在Particle Data Group(PDG)。 PDG每两年都会出一本总结所有粒子的实验数据的书。 这里是一个互动查询页面。 值得注意的是，类似于氢原子有许多能级，复合粒子同样有很多能级。 但是与氢原子不同，我们一般把不同的能级认为是不同的粒子，因为它们之间的质量差非常大， 而且相互之间可以通过很多不同模式衰变。

在之前，我们研究过抛物线规作图，链接

那里提到，从两点(0,0)和(1,0)开始，抛物线规强于尺规，不仅可以做加减乘除开方还能够解最多四次的方程。但是从三点开始，目前没有解决已知(0,0)(1,0)(a,b)求作(a,0)的问题。现在这个问题被 xurui 解决了。作图如下：

尝试计算以(a,b)为顶点和(-a,-b)为顶点，开口方向与大小都相同的抛物线（例如）的交点。联立和可以解出交点为。如果是的话，得到的交点为。将后者的xy坐标乘以2与前者相减即可得到。这样就可以提取出(a,b)的y坐标了。由此我们得出一下作图法：

作图 1. 已知三点A、B与C，可作C在直线AB上的投影（或者说垂足）M。
不妨设A(0,0)，B(1,0)，C(a,b)。首先仅用(0,0)和(a,b)两点，使用之前的方法，作出(-a,-b)。然后仅用(0,0)和(1,0)两点，作出和。然后以(0,0) 作平行四边形得到和。对这两对点做抛物线，作出两条以(a,b)和(-a,-b)为顶点的抛物线。这两条抛物线交于P点。以相同方法，将换成作出两个抛物线的交点Q点。
根据上述计算，直线PQ与直线AB垂直。作平行四边形APQR，R点坐标即为。将R点转移至x轴上，除以3并开根号即可得到M点。

在已知(0,0)和(1,0)之后，用上述方法可以将任何给出的点的横纵坐标提取出来。然后再利用之前的作图法，可以作出所有四则运算开根号或是解四次方程。

至此，抛物线规作图已全部完成。抛物线规不仅能代替尺规，作出直线或是圆的交点，还可以倍立方或是三等分任意角，甚至解四次方程。由于抛物线为二次曲线，相交最多只能是四次方程，所以这也就是抛物线规全部的潜力了。

Miao House

真理的群像

好久没更博客了。最近发生了好多事情，尤其是现在怨念有点深，想着在这地方记一下。虽然感觉，我的博客这种地方好像不是用来记日记的，ooc了。

主要就是记一下这半年（？）来发生的一些事情吧。有好事也有坏事。

倒着记。今天是2023年10月24日。下周一周是WSPC，数独和谜题世锦赛。我之前有幸参与了中国谜题组选拔赛，卡着线进队了。但是之后办签证没有来得及（中国队的队员基本上都没有来得及办签证，最后只有一个队伍能去）。虽然，怎么说呢，我的水平很明显菜到没法和世界级的选手较量，想着这次挺幸运的能去参与，去体验一下，能见到各处的大佬们，增长一下见识。结果没能参与成。

往前倒。上个月刚开学的时候想着说今年年底毕业要赶紧写毕业论文了。想着一个月极速赶完论文（同时备战比赛），刚干劲满满写了一天，第二天就发现原来ddl是两周之后，写不完了，就咕了。这一连咕了两件事导致我现在颓废得很，提不起干劲，基本上玩了两周MC和炼金新出的手游，什么也没干。

著名的科学家曾经说过： 这难道是一道题吗？？

按照目前的粒子物理标准模型，共有六种夸克，按质量从小到大分为三代，各代的性质也有所不同。

(i) 目前的标准模型里，描述三代夸克间通过W粒子弱相互作用的耦合强度的三阶矩阵为：

下列有关此矩阵以及夸克的描述中错误的是：

1. 此矩阵共有四个自由参数；
2. 此矩阵是幺正矩阵；
3. 此矩阵的第行第列描述的是第个上行夸克，第个下行夸克和W粒子顶角的耦合强度；
4. 夸克是组成物质的基石，我们身边的所有物质都是由夸克组成的；
5. 每种夸克都有红绿蓝三种颜色，而自然界中能稳定存在的物质必须表面上没有颜色；
6. 上行夸克的电荷是，下行夸克的电荷是，均不为整数电荷。

由于微博常年不用，文章挂了，这里补档一下2017年我和yui第一次去日本的时候我写的游记。

2017.8.9 day 0

食用须知：由于我不喜欢图太多的游记所以这里图会比较少。。。另外这游记不能当攻略看，因为我不会写“如何获取信息”的过程，我只是想记录一下而已（观赏用，嗯）估计看的人不会太多吧。另外，我是以我的视角写的，所以我和yui分开的时间段里yui干的事情我就没怎么写。而且，我本身不大喜欢看图特别多的文章，所以虽然我拍了300多上照片，但是这游记里图多的地方就一块。。。

这次旅游本来从去年就开始准备了。本来是预计我和yui寒假去的，结果因为我考研、做游戏，yui考期末等各种事情，开始准备的时间玩了，最后没来得及签证，没去成。

于是转战了今年暑假，成了我的毕业旅行。大概在上学的时候，我最先得知了sphere的live在8月12大阪和8月13东京两场，之后查询了在那段时间附近的活动，有c92，aqours live和poppin party live，刚好规划在11~21日的话，能赶上CM和3场live。

后来，在我学校的lovelive群里，我又遇见了两个一起去水团live的同学，暂且成为lolo和kokoro。于是我们4个人一起开始拟定行程，并定下了8月10~14日在东京，之后去箱根和沼津，16日到大阪与京都，21日再回东京的大致行程。

途中发生过一件事。在我想起来买sphere live的门票的时候，刚好晚了几天，eplus上已经卖光了。在我去ticketcamp看的时候，见到了一张要去便利店取的挺便宜的票。在这里我特别感谢砂粑粑，当时在我印象中认识的在日本的只有砂和冰月，我拜托砂帮我在tc上买并去便利店取票这么麻烦的事，砂也帮我买到了票并邮了过来，真的是十分感谢！虽然现在看来，当时那张暗票是约10000yen拿到了二阶山顶票，不如现在（写这篇游记的时间）在tc上的一阶中后排15000，但是毕竟是第一次，没有经验。以后应该会更有经验的。

在这之后，在我们拟购买机票和民宿的时候，在我这儿出了点问题。同学们都说日本签证很好过，想赶快购买机票与民宿防止涨价，但是由于我手里没有足够的钱，家长又怕拒签损失，让我先办签证之后再机宿，lolo和kokoro只好先订了他们俩那份。加之在拟定行程时发现，我和yui很多一起要去的地方（比如东方、轻音相关）他俩兴趣不大，他俩又有很多地方我们兴趣不大，最后我们选择了分开行动。

之后，我和yui便加紧开始准备签证，选择机宿，并细化行程单。现在我俩定下的行程单大致是：8月10日下午抵达东京，在住处秋叶原附近买c92的catalog和kbx（因为sphere场贩没有官棒）；11日早起去c92，晚上去晴空塔；12日去东京迪士尼；13日去明治神宫、涩谷新宿附近，晚上我去中野看sphere的live；14日去浅草寺上野公园皇居附近，晚上去箱根住；15日在沼津LLSS巡礼；16日去大阪，下午去京都的伏见稻荷；17日先去奈良看春日神社东大寺，下午回大阪去大阪城；18日先去丰乡巡礼轻音，下午回京都去京阿尼shop附近；19日去京都吧剩下的看了，八坂神社清水寺二条城金阁寺天满宫；20日上午空出半天去京都未定，晚上回东京看花火大会；21日在秋叶原附近LL巡礼，下午去银座，晚上我去看邦邦live；22日在秋叶原附近收尾之后晚上做飞机回来。

另外，在我说要去c92之后，有好多人让我去c92代购了一大堆东西。。。一开始是yuki想要天空璋作为rep楼奖品（结果因为zun限购，只能买通贩了），之后几个熟人又给我列了几个清单，我还赞助了一个代购作为rep楼奖品。。。总觉得包要撑爆

额外提一句，看sphere的call表的时候发现sphere的振付好多。。。

之后再准备好必要的东西之后，明天我们就要出发了！