第五章 对称性与守恒律
对称性在物理研究中十分重要。例如如果我们看到这样一个函数图像:
我们即使不知道它的函数表达式,但是只要知道它是奇函数,就能立即得到一系列性质,例如它在任意
区间内的积分都为0,它的泰勒展开中偶数次幂的系数都为0等等。在物理中,如果让我们求一个无限长直并且均匀带电的导线周围空间内的电场:
我们就可以首先依据对称性将问题进行简化。例如我们将研究问题在垂直方向上进行反射,空间内电荷分布保持不变,这说明在任意一点没有垂直方向上的电场;如果在水平方向上过导线的任意平面进行反射,同样保持不变,这说明在任意一点没有垂直于轴反向的电场;于是电场强度只能沿轴方向。又由于空间绕导线旋转之后,电荷分布也保持不变,这说明在任意不同的角度电场强度都相等;如果将空间沿垂直方向平移,电荷分布还是保持不变,这说明在不同高度电场强度也相等。我们仅仅通过对空间对称性的分析,就得到了在任意一点的电场方向,以及电场强度只是距离导线的距离
的函数这两个重要信息。这足以表明对称性分析在物理中的重要性。
在粒子物理的领域,同样有着诸多对称性。从空间和时间上的连续对称性来考虑,依据生活经验,我们可以知道,时空有一些连续对称性:空间平移对称性,空间旋转对称性,时间平移对称性。我们有诺特定理:每个连续对称性都有一个对应的守恒律。空间平移对称性生成动量守恒,时间平移对称性生成能量守恒,空间旋转对称性生成角动量守恒。全局的相位变换还可以生成量子数守恒,例如电荷守恒。
粒子物理当中,能量和动量守恒都和经典相对论物理类似,但是角动量的情况比较复杂,因为量子力学中角动量只能取分立值。我们先研究角动量。
5.1 量子化的角动量
我们知道,在经典物理当中,角动量是 ,对于任何一个孤立系统来说,相对任意转动轴的角动量守恒。量子力学中,角动量被替换成了角动量算符,而角动量算符的本征值(也就是测量到的角动量数值)只能取分立值。具体来讲就是我们只能同时测得
和 ,而无法同时测量其x和y分量。对于一个
和 的本征态, 的本征值为 , 的本征值为 ,其中 为一自然数,
为整数。而单个粒子也可能携带内禀的角动量,我们称为自旋 。对于 和 有类似的结果, 的本征值为 , 的本征值为 ,但是区别是这里 可取半整数,。
即使在微观领域,角动量仍然必须守恒。但是粒子可能既有内禀角动量(自旋),也有轨道角动量(公转)。我们需要考虑角动量的合成。对于复合粒子例如
等的介子,就必须考虑两个夸克的自旋再加上夸克之间的轨道角动量,这三者之和。而重子则要考虑三个夸克的自旋和两部分轨道角动量,这五个量之和。
我们用
表示轨道角动量,总角动量 。对于一个系统,我们不可能同时确定
和 的全部分量。一种方法是我们单独考虑
和 ,选取 和 的本征态以及 和 的本征态,然后将它们相乘。例如:
我们也可以先测量总角动量 ,选取 和
的本征态,然后由于我们还差两个变量,可以再选取 和 ,这样也凑出来了四个变量:
后者可以让我们更直接的看出总角动量,而前者我们不一定能测量到确定的总角动量。所以我们更多的采取后面的来表示。这二者之间是可以换算的,一般的高等量子力学课程里面都会包括这部分计算,换算的系数叫
Clebsch–Gordan 系数,可以查表得到。例如对于 的情况(图里采用的符号是 ):
(注:这里写这个特殊情况当然是后面会用到)
如果我们采取
的共同本征态,那么轨道角动量
和自旋角动量
都有确定的取值。我们依照这个来分类粒子,将粒子表示为
的态的形式。中间的
我们一般不写数字,而是使用
等的符号,与氢原子能级较为类似。例如一个 的态会被表示为 态,一个 的态会被表示为 。
然后我们考虑介子。介子由一个夸克和一个反夸克组成,它们的自旋都是
。这时我们上面的 仍代表轨道角动量,
代表两个夸克的自旋之和。如果我们首先考虑轨道角动量为0的情况,这时 ,角动量就是两个
自旋的耦合。采用类似上述的方法,我们可以将 与 进行合成得到 ,得到 或 。也就是两个态:
而对于 ,我们则还要考虑刚刚耦合完的 继续与 耦合。 的情况,和 耦合会得到 ,而 时则会得到
的一组三重态。也就是四个态:
以 的举例的话,就是
我们可以看下面,粲偶素
与底偶素
的能谱,左面的六组态分别就是上面说的
态。由于粲夸克和底夸克较重,没有复杂的干涉叠加过程,我们单凭上面的简单夸克模型,就可以预测虚线之下的能谱。而这里有
等等则是轨道角动量相同也可能会有两者的环绕距离不同而导致有不同的能级,类似氢原子有
等的能级。最轻的两个粒子就是
态的两个粒子, 以及 ,它们的角动量分别为0和1。这里右上角的
和 马上会讲到。